En 1930, Dirac publicó “Los principios de la mecánica cuántica”, obra en la que
formalizó los conceptos de estado cuántico y observable, pilares
fundamentales de la mecánica cuántica moderna. Además, en versiones posteriores
de esta obra, introdujo la notación bra-ket – también conocida como formalismo
de Dirac – que permite describir de manera elegante los estados y sus
propiedades. No obstante, su demostración de la equivalencia entre las dos
formulaciones, la matricial y la ondulatoria, carecía del rigor matemático
exigido.
Fue von Neumann quien, en 1932, publicó el tratado “Fundamentos matemáticos de la mecánica
cuántica”, donde estableció una formulación rigurosa basada en la teoría
de los espacios de Hilbert y demostró formalmente la equivalencia entre
las dos versiones de la mecánica cuántica.
Los físicos John von Neumann, Richard Feynman y Stanisław Ulam (de izquierda a derecha). Los Alamos National Laboratory.
Gracias a esta unificación, la mecánica cuántica
adquirió su forma moderna, basada en un conjunto de postulados fundamentales,
también conocidos como axiomas de Dirac–von Neumann.
En este contexto, los términos "postulado"
y "axioma" son prácticamente equivalentes, aunque suelen emplearse
con diferente énfasis: "postulado" en contextos físicos y
"axioma" en formulaciones matemáticas más rigurosas.
Los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.
Son los fundamentos
matemáticos formales sobre los que se construye la mecánica cuántica:
Postulado I: Estado cuántico.
El estado de un sistema
cuántico está completamente descrito por un
vector en un espacio de
Hilbert (un espacio matemático dotado de propiedades que permiten
representar y manipular estados cuánticos de forma rigurosa). Este vector
contiene toda la información físicamente accesible sobre el sistema. Según la notación bra-ket, el estado cuántico se
representa mediante un ket:
∣ 𝝍 〉
Postulado II: Observables y operadores.
Un observable es
cualquier magnitud física medible,
como la posición, el momento, la energía o el espín. Cada observable
se representa mediante un operador
matemático (Â ), que actúa sobre los
estados cuánticos del sistema definidos en un espacio de Hilbert.
Estos operadores tienen
valores propios, denominados autovalores,
que representan los posibles resultados de una medición. Dicho de otro modo, si
un sistema está en un estado cuántico ∣ 𝝍 〉 y medimos un observable
representado por el operador (Â ), solo podemos
obtener ciertos valores discretos (𝒂𝒊 ), que son los autovalores de ese operador.
 ∣ 𝜱𝒊 〉 = 𝒂𝒊 ∣ 𝜱𝒊 〉
∣ 𝜱𝒊 〉 = Autoestado
del observable representado por el operador (Â ).
Los autoestados representan los estados
"puros" en los que el sistema puede encontrarse inmediatamente
después de la medición.
Ejemplo: En
un átomo, los electrones solo pueden tener ciertos valores discretos de
energía, llamados niveles de energía
cuantizados. No pueden adoptar cualquier valor continuo, sino solo aquellos
permitidos por la ecuación de Schrödinger. Estos valores corresponden a los autovalores
del operador Hamiltoniano (Ĥ ).
Ĥ ∣ 𝜱𝒊 〉 = 𝑬 𝒊 ∣ 𝜱𝒊 〉
Ĥ = Operador Hamiltoniano
(operador de energía).
∣ 𝜱𝒊 〉 = Autoestado de la
energía.
𝑬 𝒊 = Autovalor, es decir,
el nivel de energía permitido.
Si un electrón está en un autoestado ∣ 𝜱𝒊 〉,
al medir
su energía siempre se obtiene el
valor (𝑬 𝒊 ). Es decir, si se mide
repetidamente el mismo observable en el mismo estado cuántico, el resultado
permanece invariante.
Ejemplos de observables y sus operadores:
Postulado III: Probabilidad de los resultados (Regla de
Born).
Al medir un observable representado por un operador matemático (Â ), la probabilidad de
obtener uno de sus autovalores (𝒂𝒊 ) depende del estado
cuántico del sistema. Esta probabilidad está dada por el cuadrado del valor
absoluto del producto interno entre el estado del sistema ∣ 𝝍 〉 y el autoestado ∣ 𝜱𝒊 〉 asociado al autovalor (𝒂𝒊 ):
𝑷 (𝒂𝒊 ) = ∣ ⟨
𝜱𝒊 ∣ 𝝍
〉 ∣ 2
Esto se conoce como la regla
de Born, y constituye una de las principales diferencias con la física
clásica: no podemos predecir con certeza el resultado de una medición
individual, sino únicamente la probabilidad
de obtener cada resultado posible.
Esta es la forma más general del postulado
probabilístico de la mecánica cuántica, ya que se aplica a cualquier observable. Cuando se
particulariza al caso de la posición, se obtiene la formulación
probabilística presentada en el capítulo La
interpretación de Copenhague:
El cuadrado del
módulo de la función de onda ( ∣ 𝝍
∣ 2 ) representa la densidad de probabilidad de hallar una partícula subatómica en una determinada región del
espacio, cuando se encuentra en un estado estacionario descrito por (𝝍 ).
Ejemplo: Si disparamos
electrones contra una barrera con dos rendijas, cada electrón se encuentra
inicialmente en un estado de superposición
al pasar por ambas rendijas. Sin embargo, al medir su posición, el electrón
aparece en un único punto con cierta probabilidad. Esta probabilidad está
determinada por la función de onda, y al repetirse muchas veces, da lugar a un
patrón de interferencia.
Postulado IV: Evolución en el tiempo del estado cuántico.
Mientras no se realice
una medición, el estado cuántico de un sistema evoluciona en el tiempo de
manera determinista, según la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
𝒊
ℏ ( 𝝏 ∣ 𝝍 ( 𝒕 )
〉 ) / ( 𝝏
𝒕 ) = Ĥ ∣ 𝝍 ( 𝒕 ) 〉
Esto significa que, en ausencia de medición, la evolución
del sistema cuántico es perfectamente predecible. Sin embargo, el resultado de una medición sigue siendo
probabilístico, como establece el postulado anterior.
Ejemplo: Un electrón en un
átomo puede cambiar de estado de manera gradual con el tiempo debido a su
evolución natural según la ecuación de Schrödinger, a menos que ocurra una
interacción externa, como la absorción o emisión de un fotón, que implica una
medición o una perturbación.
Algunos
autores incluyen entre los postulados fundamentales el colapso de la función de onda, así como los principios de complementariedad e incertidumbre. Sin embargo, desde
un punto de vista matemático estricto, estos no son postulados independientes,
sino que se derivan de los cuatro postulados básicos que hemos presentado. Por
ello, a continuación, los trataremos como principios
derivados.
Los principios fundamentales de la mecánica cuántica.
A diferencia de los postulados, que constituyen la base
matemática formal de la mecánica cuántica, los principios son conceptos más generales que se derivan de dichos
postulados.
Los principios fundamentales que describen
el comportamiento de las partículas subatómicas son los siguientes:
Cuantización de la
energía.
En ciertos sistemas
físicos, como los átomos o la radiación, la energía solo puede tomar valores
específicos o discretos, es decir, no puede variar de forma continua dentro de
un rango.
Este es un principio
emergente que se deriva de los postulados fundamentales, pero su manifestación
depende de las condiciones del sistema. Por ejemplo, la energía de una
partícula libre puede tomar cualquier valor y, por tanto, no está cuantizada.
Concretamente, la
cuantización de la energía se fundamenta en los dos siguientes postulados:
Postulado
II (Observables y operadores). El operador Hamiltoniano (Ĥ ) representa la energía total del sistema.
Postulado
III (Probabilidad de los resultados). Solo pueden
observarse como valores medibles los autovalores
del operador Hamiltoniano.
La cuantización también
se aplica a otras propiedades cuánticas, como el momento lineal o el espín.
Aunque estas características también derivan de los mismos postulados, no suelen
considerarse principios independientes, sino particularidades específicas de
ciertos sistemas cuánticos.
Superposición cuántica.
Es una consecuencia
directa del Postulado I (Estado
cuántico) y de la estructura lineal del espacio de Hilbert.
Este principio
establece que, si un sistema puede encontrarse en dos estados distintos ∣ 𝝍1 〉 y ∣ 𝝍2 〉, entonces también puede existir en cualquier
combinación lineal de esos estados.
∣ 𝝍 〉 = 𝜶 ∣ 𝝍1
〉 + 𝜷 ∣ 𝝍2 〉
∣ 𝝍 〉 = Estado cuántico del sistema.
𝜶 y 𝜷 = Coeficientes complejos. Determinan la contribución
relativa de cada estado a la superposición.
Esto significa que un
sistema cuántico puede encontrarse en una
superposición de varios estados al mismo tiempo, hasta que se realiza una medición. Al medirlo, el
sistema colapsa a uno de esos estados posibles, con una probabilidad
determinada por el cuadrado del módulo de los coeficientes (según la regla de Born).
∣ 𝝍 〉 = ∑𝒊 𝒄𝒊
∣ 𝝍𝒊 〉
∣ 𝝍𝒊 〉 = Estados base
(autoestados del observable).
𝒄𝒊 = Coeficientes complejos
(𝒄1), (𝒄2), ….
Ejemplo: Un
electrón puede estar en una superposición de estar "en dos lugares"
al mismo tiempo antes de que lo midamos. Solo cuando se realiza la medición se
encuentra al electrón en una posición concreta.
Colapso de la función
de onda.
Cuando se mide un observable (Â ), el estado cuántico ∣ 𝝍 〉, que inicialmente puede estar en una
superposición de autoestados del observable, colapsa instantáneamente a
uno de los autoestados ∣ 𝜱𝒊
〉 correspondientes al autovalor medido (𝒂𝒊 ).
Este principio es central en la interpretación
de Copenhague de la mecánica cuántica, aunque no forma parte de todos los
enfoques interpretativos.
Ejemplo: Antes de medir el espín de un
electrón, puede encontrarse en una superposición de los estados
"arriba" y "abajo". Sin embargo, al realizar la medición,
obtenemos solo uno de esos dos resultados, nunca una combinación.
Principio de
complementariedad de Bohr.
Algunas propiedades físicas de un sistema cuántico – como la posición y
el momento, o el comportamiento como partícula y como onda – son
complementarias, lo que significa que no pueden observarse o definirse
simultáneamente con precisión. Sin embargo, ambas son necesarias para obtener
una descripción completa del sistema.
Ejemplo: En el experimento de la doble rendija, si se mide por cuál rendija
pasa un electrón, este se comporta como una partícula. Pero si no se realiza
dicha medición, el electrón exhibe un patrón de interferencia característico
del comportamiento ondulatorio.
Principio de
incertidumbre de Heisenberg.
Heisenberg lo formuló
como un principio, ya que expresa un
límite fundamental del conocimiento en la naturaleza cuántica. No obstante,
también puede considerarse un teorema,
pues se deriva matemáticamente de los postulados de la mecánica cuántica, en
particular de las propiedades de los operadores no conmutativos.
Este principio
establece que existen pares de observables, como la posición y el momento,
o la energía y el tiempo, que no pueden medirse con precisión
arbitraria de forma simultánea. Cuanto mayor sea la precisión en la medición de
una de estas magnitudes, mayor será la incertidumbre en la otra.
Esto se relaciona con
la conmutación de operadores. Si dos operadores (Â ) y (Ĉ ) conmutan:
[Â
, Ĉ
] = Â Ĉ ― Ĉ Â =
𝟬
entonces es posible que
los observables asociados tengan valores definidos simultáneamente.
En cambio, si no
conmutan:
[Â
, Ĉ
] = Â Ĉ ― Ĉ Â ≠
𝟬
como sucede con la
posición y el momento, surge una relación de incertidumbre.
Ejemplo: En un experimento
cuántico, si tratamos de medir la posición de un electrón con extrema
precisión, su momento (velocidad) se vuelve altamente incierto, y viceversa.
Principio de exclusión
de Pauli.
Dos fermiones (como los
electrones) no pueden ocupar el mismo estado cuántico dentro de un mismo
sistema al mismo tiempo.
Esto significa que no
pueden tener idénticos valores en todos los números cuánticos que describen su
estado, como la energía, el espín, el momento angular, etc.
Estos principios forman la base de la
mecánica cuántica y permiten explicar fenómenos
que no pueden ser descritos por la física clásica, desafiando nuestra
comprensión intuitiva de la naturaleza.
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