13 La ecuación de Dirac

 

Hemos visto que la ecuación de Schrödinger no incorpora los efectos de la relatividad especial, por lo que su validez se limita a sistemas donde las partículas se mueven a velocidades mucho menores que la de la luz. Sin embargo, para explorar el mundo cuántico a velocidades cercanas a la de la luz – como ocurre en los aceleradores de partículas, dentro del campo de la física de altas energías – se requiere una ecuación de onda compatible con la relatividad. Ese fue precisamente el propósito de la ecuación de Dirac.

 

Primer intento: la ecuación de Klein-Gordon.

El primer intento de construir una ecuación cuántica relativista fue una extensión natural del enfoque de Schrödinger. Como esta última se basa en la forma clásica de la energía, parecía lógico reemplazarla por su versión relativista:

Energía clásica: 𝑬 = 𝒑² / 2 𝒎

Energía relativista: 𝑬² = 𝒎² 𝒄⁴ + 𝒑² 𝒄²

Sustituyendo las magnitudes físicas de energía (𝑬) y momento (𝒑) por los correspondientes operadores cuánticos (^𝑬) y (^𝒑) se obtiene la ecuación de Klein-Gordon:

( 𝒊 ℏ ( 𝝏 / 𝝏 𝒕 ) )² 𝝍 = ( 𝒎² 𝒄⁴  ― ℏ² 𝜵² 𝒄²) 𝝍

𝒊 ℏ ( 𝝏 / 𝝏 𝒕 ) = Operador energía (^𝑬). Es la derivada parcial con respecto al tiempo.

― 𝒊 ℏ 𝜵 = Operador momento (^𝒑). Es la derivada parcial con respecto a la posición.

La principal diferencia entre la ecuación de Klein-Gordon y la de Schrödinger es que la primera incluye una derivada de segundo orden con respecto al tiempo, mientras que la segunda es de primer orden. Como consecuencia, la ecuación de Klein-Gordon admite dos tipos de soluciones: una con energía positiva y otra con energía negativa. Sin embargo, esto plantea un problema interpretativo, ya que la densidad de probabilidad asociada puede tomar valores negativos, lo que dificulta su interpretación como una probabilidad física en el sentido tradicional.

 

La solución de Dirac.

En 1928, Paul Dirac propuso una alternativa ingeniosa. Observó que el problema de la ecuación de Klein-Gordon radicaba en que la energía aparece al cuadrado (𝑬²). Por eso, propuso una ecuación lineal en la energía, obtenida al aplicar la raíz cuadrada a la expresión relativista:

𝑬 = 𝜷 𝒎 𝒄² + 𝜶 𝒑 𝒄

Aquí, 𝜶 y 𝜷 son coeficientes que, inicialmente, se consideraron como parámetros a determinar. Al igual que en el caso anterior, Dirac reemplazó las magnitudes físicas por operadores cuánticos y obtuvo su ecuación:

𝒊 ℏ ( 𝝏 / 𝝏 𝒕 ) 𝝍 = ( 𝜷 𝒎 𝒄² ― 𝒊 ℏ 𝒄 𝜶 𝜵) 𝝍

Para que esta ecuación reprodujera la ecuación de Klein-Gordon al elevarla al cuadrado, era necesario que 𝜶 y 𝜷 no fueran simples números, sino matrices que obedecieran ciertas relaciones algebraicas. Dirac descubrió que dichas matrices debían ser de tamaño 4×4, lo que implicaba que la función de onda 𝝍 no era un escalar, sino un espinor con cuatro componentes:

Un espinor es un tipo especial de objeto matemático que se comporta como un vector bajo ciertas transformaciones, pero que cambia de forma más sutil bajo rotaciones. Es el marco natural para describir partículas con espín 1/2, como los electrones, los neutrinos y los quarks.

La forma final de la ecuación de Dirac, después de aplicar matemáticas avanzadas, es la siguiente:

( 𝒊 𝜰^𝝁 𝝏_𝝁 ― 𝒎) 𝝍 = 0

𝜰^𝝁 = Matrices de Dirac (4x4) ( 𝜰⁰, 𝜰¹, 𝜰², 𝜰³) ( 𝒎 = 0, 1, 2, 3). La matriz 𝜰⁰ representa la parte temporal, y las otras tres, 𝜰¹, 𝜰², 𝜰³ corresponden a las direcciones espaciales.

𝝏_𝝁 = Derivadas parciales respecto al tiempo y al espacio.

𝝍 = Espinor de Dirac. Es la solución de la ecuación de Dirac para una partícula con espín 1/2.

Con la notación “slash” introducida por Richard Feynman, la ecuación se describe elegantemente como sigue:

donde:

notación slash de Feynman para reemplazar el producto 𝜰^𝝁 𝝏_𝝁.

Mientras que la ecuación de Schrödinger describe la evolución de una función de onda escalar mediante derivadas, la ecuación de Dirac utiliza matrices que actúan sobre espinores, integrando de forma natural la mecánica cuántica con la relatividad especial.

 

El espín.

Una de las consecuencias más notables de la ecuación de Dirac es que el espín de las partículas surge de forma natural. En algunas representaciones, las matrices de Dirac ( 𝜰⁰, 𝜰¹, 𝜰², 𝜰³) están construidas a partir de las matrices de Pauli ( 𝝈₁, 𝝈₂, 𝝈₃ ) que describen el espín en la mecánica cuántica no relativista.

Mientras que la ecuación de Schrödinger no incorpora el espín de manera intrínseca, en la ecuación de Dirac el espín aparece como una necesidad matemática derivada de la relatividad especial. Dirac no solo explicó el espín, sino que lo unificó con la estructura relativista del espacio-tiempo.

Así pues la ecuación de Dirac nos dice que el espín no es más que la consecuencia de aplicar la relatividad especial al mundo cuántico. Dirac había encontrado una explicación al fenómeno cuántico del espín.

Antipartículas.

Otro resultado sorprendente de la ecuación de Dirac fue la predicción de la existencia de antipartículas. Al analizar las soluciones de su ecuación, Dirac encontró que además de los estados con energía positiva, también aparecían soluciones con energía negativa. En lugar de descartarlas, propuso que representaban nuevas partículas con la misma masa pero carga opuesta a las partículas conocidas. De hecho, predijo la existencia del antielectrón, o positrón, que fue observado experimentalmente pocos años después. Tanto el electrón como el positrón son soluciones válidas de la ecuación de Dirac.

Hablaremos más sobre antipartículas en su correspondiente capítulo.

 

Conclusión.

La ecuación de Dirac es una de las joyas más brillantes de la física teórica. Se trata de una ecuación cuántica relativista, lineal y que involucra matrices actuando sobre espinores. No solo supera las limitaciones interpretativas de la ecuación de Klein-Gordon para describir partículas con espín, sino que además incorpora de forma natural el espín de las partículas y predice la existencia de las antipartículas.

Considerada por muchos como la ecuación más bella jamás escrita, destaca tanto por su simplicidad formal como por su enorme poder explicativo. Aún hoy sigue siendo fundamental en la física moderna, al permitir describir con precisión el comportamiento de partículas elementales como el electrón en contextos relativistas.

No obstante, como toda teoría, tiene sus límites. En la naturaleza, las partículas no están completamente aisladas: interactúan, se atraen, se repelen y se transforman. Para describir este mundo de interacciones complejas, es necesario recurrir a teorías más generales, como la teoría cuántica de campos, que exploraremos en los siguientes capítulos.