Las leyes del movimiento de Newton son los
principios fundamentales que explican cómo se mueven los cuerpos bajo la acción
de fuerzas.
La primera ley (inercia) establece que un objeto
permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza
externa actúe sobre él.
La segunda ley
relaciona la fuerza, la masa y la aceleración mediante la fórmula 𝑭 = 𝒎 𝒂 (fuerza es igual a
masa por aceleración), indicando que la aceleración es directamente
proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa.
La tercera ley (acción y reacción) postula que por cada
acción hay una reacción igual y opuesta.
Estas leyes
construyen el edificio de la dinámica y de la cinemática, es decir, la física
del movimiento, y tienen en común que se formulan
en términos de fuerzas.
Limitaciones en relatividad.
Aunque las leyes de
Newton describen correctamente el movimiento a bajas velocidades, no son
compatibles con la relatividad especial, donde la forma de las fuerzas
depende del observador.
En
relatividad:
La velocidad de la
luz y la masa en reposo son invariantes
relativistas, es decir, permanecen constantes para todos los observadores.
La relación entre
fuerza, masa y aceleración (𝑭 = 𝒎 𝒂)
deja de tener la misma forma para todos los observadores a altas velocidades.
La energía,
aunque depende del observador, se incorpora en el marco relativista mediante
cantidades invariantes como la acción.
Por estas
razones, en física moderna no se considera adecuado tomar a las fuerzas como
magnitudes fundamentales. Se utilizan magnitudes más generales, como el lagrangiano y la acción, que permiten describir sistemas relativistas y cuánticos de
manera universal.
Principio de mínima
acción y el lagrangiano.
El principio de
mínima acción, enunciado de manera conceptual por Pierre-Louis de Maupertuis
a mediados del siglo XVIII, establece que la trayectoria que sigue un cuerpo
entre dos puntos es aquella que hace especial a una magnitud llamada acción.
De manera
más rigurosa, este principio se conoce como principio de acción estacionaria,
ya que la acción no siempre se
minimiza, sino que es estacionaria frente a pequeñas variaciones de la
trayectoria.
Fue Joseph-Louis Lagrange, en la segunda
mitad del siglo XVIII, quien desarrolló la formulación matemática completa del principio, mucho más general
que las leyes de Newton. Introdujo el lagrangiano
(𝑳), definido como la
diferencia entre la energía cinética (𝑻) y la energía potencial
(𝑽):
𝑳
= 𝑻 ― 𝑽
A partir
de esta ecuación, Lagrange formuló la ecuación de Euler–Lagrange, que
permite derivar las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema sin necesidad
de recurrir directamente a las fuerzas de Newton. Esta es la ecuación aplicada
a una coordenada generalizada (𝒒𝒊):
(𝝏/ 𝝏 𝒕) (𝝏 𝑳 / 𝝏 ˙𝒒𝒊) ― (𝝏
𝑳 / 𝝏 𝒒𝒊) = 𝟬
𝒒𝒊 = Coordenada
generalizada (𝒊).
˙𝒒𝒊 = Derivada temporal de 𝒒𝒊, es decir, la
velocidad generalizada.
Ecuaciones de Lagrange para sistemas generales.
Las ecuaciones de
Lagrange son un conjunto de ecuaciones de movimiento aplicables a sistemas
con múltiples partículas o grados de
libertad. Cada ecuación se obtiene aplicando la ecuación de Euler–Lagrange a una coordenada específica y describe cómo evoluciona esa coordenada en
particular.
Para las
coordenadas del sistema:
𝒒𝟏, 𝒒𝟐,… 𝒒𝒏
las ecuaciones de Lagrange serían las siguientes:
(𝝏/ 𝝏 𝒕) (𝝏 𝑳 / 𝝏 ˙𝒒𝟏) ― (𝝏
𝑳 / 𝝏 𝒒𝟏) = 𝟬
(𝝏/ 𝝏 𝒕) (𝝏 𝑳 / 𝝏 ˙𝒒𝟐) ― (𝝏
𝑳 / 𝝏 𝒒𝟐) = 𝟬
⋮
(𝝏/ 𝝏 𝒕) (𝝏 𝑳 / 𝝏 ˙𝒒𝒏) ― (𝝏
𝑳 / 𝝏 𝒒𝒏) = 𝟬
El lagrangiano, formulado de manera
adecuada para un sistema dado, produce los mismos resultados que las leyes de
Newton en casos clásicos. Sin embargo, las ecuaciones
de Lagrange presentan ventajas decisivas:
Son compatibles con
la relatividad: tanto el lagrangiano
como las ecuaciones derivadas son invariantes relativistas, funcionando
correctamente en todos los marcos de referencia.
Constituyen la herramienta
fundamental de la física moderna para describir sistemas físicos complejos,
desde partículas individuales hasta sistemas con muchos grados de libertad,
incluso en mecánica cuántica de campos.
La acción y su importancia.
La acción se
define como la integral del lagrangiano a lo largo del tiempo:
𝑺
= ∫ 𝑳 𝝏 𝒕
El principio de acción estacionaria
establece que la trayectoria real de un sistema entre dos puntos hace que la
acción sea estacionaria, y las ecuaciones
de Euler–Lagrange determinan cómo evoluciona el sistema en el tiempo.
Aunque la acción no se mide directamente, su importancia radica en que permite predecir el movimiento de cualquier sistema físico de manera
universal, independientemente de su complejidad o de si se encuentra en un
marco relativista.
El lagrangiano del modelo estándar.
El lagrangiano del modelo estándar es una expresión matemática
compacta que condensa toda la física de partículas conocida, describiendo las
partículas fundamentales y la forma en que interactúan. Con ella se predicen
los comportamientos asociados a las tres interacciones
gauge del modelo estándar – electromagnética, débil y fuerte – así como la
interacción con el campo de Higgs.
El modelo
estándar representado por esta expresión es una teoría cuántica de campos
con simetría gauge SU(3) x SU(2) x U(1),
y su densidad lagrangiana (𝓛) está construida para respetar esta simetría.
Veamos con detalle los cuatro sectores de esta
expresión:
Términos gauge. Codifican la dinámica de las interacciones electromagnética, débil
y fuerte.
Al aplicar la ecuación de Euler–Lagrange a estos términos se obtienen las ecuaciones de Maxwell en el caso del electromagnetismo, y de manera
análoga se derivan las ecuaciones dinámicas de las otras interacciones.
Términos de materia. El segundo sector describe cómo los fermiones
(quarks y leptones) interactúan con los campos gauge.
Por ello puede verse
como una extensión gauge–invariante de la ecuación de Dirac, la cual, como vimos
en su correspondiente capítulo, nos permite describir el comportamiento de un fermión libre, sin interacción con
campos.
Sector del Higgs. El tercer sector describe el campo de Higgs y sus interacciones con
los bosones gauge.
Tras la ruptura
espontánea de simetría electrodébil, este sector explica por qué los bosones W
y Z adquieren masa.
Sector Yukawa. El último sector describe las interacciones entre los fermiones y el campo de
Higgs, generando las masas de quarks y
leptones, determinadas por sus respectivos acoplamientos de Yukawa.
Resumen.
El lagrangiano del modelo
estándar constituye una de las formulaciones más completas y exitosas de la
física moderna, porque:
Predice con gran precisión el comportamiento de todas las
partículas fundamentales conocidas.
Unifica el modelo electrodébil
y la cromodinámica cuántica.
Explica el origen de la
masa
de fermiones y bosones mediante el mecanismo de Higgs.
Constituye el núcleo
matemático del modelo estándar y de
toda la teoría cuántica de campos moderna.
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