6 La mecánica matricial y la mecánica ondulatoria

A mediados de los años 20 del siglo pasado, la física cuántica era un conjunto disperso de ideas e hipótesis conectadas de distintas maneras, pero sin unos cimientos sólidos sobre los que fundamentarse. Además, existían dos grandes enfoques con planteamientos aparentemente enfrentados.

Por un lado, Einstein enfatizaba la importancia del comportamiento dual onda-corpúsculo observado en la luz y buscaba una teoría en la que la materia y la radiación fueran descritas como ondas. Por otro lado, Niels Bohr y su escuela hacían hincapié en el carácter discreto de los espectros atómicos y otorgaban gran importancia al concepto de “salto cuántico” introducido por Bohr en su modelo atómico, como se explicó en el capítulo Los primeros modelos atómicos. Ambos enfoques explicaban algunos fenómenos, pero resultaban insuficientes en otros. En este contexto, no se produjo una, sino dos revoluciones en la teoría cuántica.

 

La mecánica matricial de Heisenberg.

En 1925, Werner Heisenberg buscaba una forma de calcular la intensidad de las líneas espectrales del hidrógeno. Como vimos en el capítulo Los primeros modelos atómicos, un átomo emite luz solo en frecuencias específicas, lo que permite su identificación. Comprender el origen de estas frecuencias y calcular su intensidad era un problema abierto en aquel momento.

Heisenberg descubrió que la clave podía estar en introducir en sus cálculos ciertas cantidades que se multiplicaban de manera no conmutativa, es decir, donde A x B ≠ B x A. Este hallazgo lo dejó perplejo, pero como sus resultados parecían coherentes, decidió publicar un artículo con sus conclusiones.

Cuando mostró su trabajo a sus colegas Max Born y Pascual Jordan, estos reconocieron inmediatamente la presencia de matrices en sus ecuaciones, algo que a Heisenberg le había pasado desapercibido. A partir de este descubrimiento, los tres colaboraron en el desarrollo de una nueva formulación de la mecánica cuántica basada en matrices, dando lugar a la mecánica matricial.

 

La mecánica ondulatoria de Schrödinger.

Ese mismo año, de forma independiente a Heisenberg y sus colegas, Erwin Schrödinger trabajaba en la ecuación que llevaría su nombre. Su motivación y punto de partida eran distintos: para él, la clave para construir una teoría cuántica completa residía en la naturaleza ondulatoria de la luz y la materia.

Las ecuaciones de onda eran bien conocidas en matemáticas, por lo que Schrödinger ya intuía la estructura de la ecuación que buscaba. En el capítulo siguiente veremos cómo llegó a formular su célebre ecuación, cuyo resultado reproducía exactamente los niveles de energía cuantizados del modelo atómico de Bohr. Así nació la mecánica ondulatoria.

 

La unificación.

En la primavera de 1926, la comunidad científica contaba con dos formulaciones de la mecánica cuántica: la mecánica matricial de Heisenberg, centrada en cantidades discretas y basada en el álgebra matricial, y la mecánica ondulatoria de Schrödinger, formulada con cantidades continuas y ecuaciones diferenciales, propias del análisis matemático.

La comunidad estaba dividida en dos bandos. En el primero se encontraban figuras como Bohr y Pauli, quienes aceptaban sin problemas la mecánica matricial, más moderna. El segundo grupo, inclinado hacia la mecánica ondulatoria, incluía a Einstein, quien consideraba el formalismo matricial un galimatías poco confiable. La razón principal era el lenguaje matemático: mientras las ecuaciones diferenciales eran familiares y llevaban siglos describiendo fenómenos ondulatorios, las matrices eran poco conocidas entre los físicos de la época. Por ello, aquellos con una formación más “clásica” se inclinaban por los métodos de Schrödinger.

Sin embargo, ambas teorías llevaban a los mismos resultados al aplicarlas a los problemas de interés en aquel momento. Esto era, obviamente, sospechoso. Así surgió una pregunta inevitable: ¿no serían en realidad la misma teoría?

El primer paso hacia la unificación lo dio el propio Schrödinger. Demostró que su ecuación podía expresarse en términos de operadores matemáticos aplicados a la función de onda. El resultado de aplicar estos operadores podía depender del orden en que se usaban, del mismo modo que el producto de matrices. Esto le permitió asociar una matriz a cada operador, estableciendo un puente entre las funciones continuas de su mecánica ondulatoria y las matrices discretas de la mecánica matricial. Su conclusión fue clara: ambas mecánicas eran la misma teoría. Sin embargo, solo logró demostrar que era posible partir de la mecánica ondulatoria y llegar a la mecánica matricial, pero no el proceso inverso.

Para demostrar una equivalencia absoluta entre ambas formulaciones, era necesario establecer un marco matemático común del que ambas derivaran formalmente. Los pasos finales hacia la unificación los dieron Paul Dirac y John von Neumann, quienes tenían una sólida formación matemática. Ambos establecieron los postulados fundamentales de la mecánica cuántica, que veremos en detalle en el capítulo correspondiente.